Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.

（2）試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 （2）存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，得，求得，進(jìn)而求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，分類討論，即可求解。

（1）當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2），.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立.

當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞減，

從而，又，則.

當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，

從而，又，所以.

當(dāng)時(shí)，令，得，

若，；若，.

從而，則.

令，則，易知在上單調(diào)遞增，

則，從而不可能成立.

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立.