Question

已知函數(shù) .
（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若且對(duì)任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減  4分
（Ⅱ）.
（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ），令，解得
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減  4分
（Ⅱ）為偶函數(shù)，恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立
解法1:當(dāng)時(shí)，，令，解得
（1）當(dāng)，即時(shí)，在減，在增
，解得，
（2）當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
，符合，
綜上，.                  9分 
解法2: 等價(jià)于對(duì)恒成立,
設(shè)則. 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;
時(shí),  
 
（Ⅲ）



.   14分
點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，在某區(qū)間，導(dǎo)數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)。不等式證明問(wèn)題，往往通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值，使問(wèn)題得解。本題涉及不等式恒成立問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的最值，解決了問(wèn)題。