Question

如圖所示，在直角坐標平面上的矩形OABC中，|OA|=2，| OC |=

3

，點P，Q滿足

OP

=

λOA

，

AQ

=( 1-λ )

AB

  ( λ∈R )，點D是C關于原點的對稱點，直線DP與CQ相交于點M．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線與點M的軌跡相交于E，F(xiàn)兩點，求△AEF的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量運算得到直線DP的方程和直線CQ的方程，消去參數即可得到M的軌跡方程；
（2）欲求△AEF的面積的最大值，先將△AEF的面積表示成某個變量的函數，再利用基本不等式求函數的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），由圖可知A（2，0），B ( 2 ， 

3

 )，C ( 0 ， 

3

 )，D ( 0 ， -

3

 )．
由

OP

=λ

OA

，得點P的坐標為（2λ，0）；
由

AQ

=( 1-λ )

AB

，得點Q的坐標為( 2 ， 

3

 ( 1-λ ) )．
于是，當λ≠0時，直線DP的方程為y+

3

=

3

2λ

x，①
直線CQ的方程為y-

3

=

3 λ

-2

x．②
①×②，得y2-3=-

3

4

x2，即

x2

4

+

y2

3

=1．
當λ=0時，點M即為點C，而點C的坐標( 0 ， 

3

 )也滿足上式．
故點M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）設過點（1，0）的直線EF的方程為x=my+1，且設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
由

x=my+1   x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²+6my-9=0．③
由于上述方程的判別式△=（6m）²+36（3m²+4）＞0，所以y₁，y₂是方程③的兩根，
根據求根公式，可得| y1-y2 |=

12 m2+1

3m2+4

．
又A（2，0），所以△AEF的面積S=

1

2

| y1-y2 |=

6 m2+1

3m2+4

．
令

m2+1

=t（t≥1），則m²=t²-1．
于是S ( t )=

6t

3t2+1

=

2

t+ 1 3t

，t≥1．
記f ( t )=t+

1

3t

，t≥1，則f′ ( t )=1-

1

3t2

=

3t2-1

3t2

．
因為當t≥1時，f'（t）＞0，所以f ( t )=t+

1

3t

在[1，+∞）上單調遞增．
故當t=1時，f（t）取得最小值

4

3

，
此時S ( t )=

2

t+ 1 3t

取得最大值

3

2

．
綜上所述，當m=0時，即直線EF垂直于x軸時，△AEF的面積取得最大值

3

2

．

點評：本小題主要考查向量的運算、直線方程、求曲線的方程以及函數最值等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．