(2012•大豐市一模)如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連接AD、DC、CB.
(1)若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:DC∥AB;
(3)四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請求出四邊形ABCD為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)題意,得C(1,0),設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)和反比例函數(shù)解析式,結(jié)合點(diǎn)A(1,4)在函數(shù)圖象上,得到反比例函數(shù)解析式,從而得到ab=4,再根據(jù)△ABD的面積為4,列式化簡得4a-ab=4a-4=8,最后聯(lián)解方程組,可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,
4
3
).
(2)根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)直線斜率的公式,結(jié)合C、D的坐標(biāo),得到直線DC的斜率為-b.同理根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),得到直線AB的斜率關(guān)于a、b的式子.再根據(jù)反比例解析式,有ab=4,代入化簡可得KAB=
b-4
a-1
=-b,直線AB與直線DC的斜率相等,因此得到DC∥AB.
(3)根據(jù)四邊形ABCD的對角線互相垂直,可得只要四邊形ABCD是平行四邊形,它就是一個(gè)菱形.再由(2)知DC∥AB,所以只需DC=AB,即可.接下來利用兩點(diǎn)的距離公式,根據(jù)CD=AB列出關(guān)于a、b的等式,結(jié)合ab=4,解之得a=b=2.從而得到當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)時(shí),四邊形ABCD為菱形.最后用經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率的公式,得出此時(shí)直線AB的斜率,從而可得直線AB方程.
解答:解:(1)根據(jù)題意,得C(1,0),設(shè)點(diǎn)D(0,b),反比例函數(shù)解析式為y=
m
x

∵A(1,4)在反比例函數(shù)圖象上,
∴4=
m
1
,即m=4,
再根據(jù)點(diǎn)B(a,b)在反比例函數(shù)圖象上,可得ab=4,
∴S△ABD=0.5*a(4-b)=4,即4a-ab=4a-4=8,
∴聯(lián)解方程組得:a=3,b=
4
3
,可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,
4
3
).------(4分)
(2)C(1,0),設(shè)D(0,b),
∴直線DC的斜率為KDC=
b-0
0-1
=-b.
同理,根據(jù)A(1,4),(a,b),可得直線AB的斜率為KAB=
b-4
a-1

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上,有ab=4
KAB=
b-4
a-1
=
b-ab
a-1
=-b=KDC
所以DC∥AB.------(4分)
(3)四邊形ABCD能為菱形.
∵四邊形ABCD的對角線互相垂直,
∴當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí),四邊形ABCD就是菱形.
由(2)得DC∥AB,所以只需DC=AB,即可.
設(shè)
(1-a)2+(4-b)2
=
12+b2
,
結(jié)合ab=4,可得a=b=2.
∴點(diǎn)為B(2,2)時(shí),四邊形ABCD為菱形時(shí),
此時(shí)直線AB的斜率為KAB=
2-4
2-1
=-2
,
由直線的點(diǎn)斜式方程,得AB方程為y-2=-2(x-2),化簡得所求函數(shù)解析式為y=-2x+6;------(4分)
點(diǎn)評:本題以反比例函數(shù)圖象為載體,一方面根據(jù)三角形的面積求點(diǎn)的坐標(biāo),另一方面證明直線互相平行、判斷四邊形形狀,著重考查了直線的斜率和直線的方程、兩點(diǎn)的距離公式和坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積求法等知識點(diǎn),屬于中檔題.
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