Question

過(guò)原點(diǎn)向曲線y=x³+2x²+a可作三條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把設(shè)出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中表示出切線方程的斜率k，由切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出切線方程，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入得到一個(gè)方程，設(shè)方程左邊的函數(shù)為h（x），求出h（x）導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)x的值，利用x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到h（x）的極大值和極小值，令極大值大于0，極小值小于0列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到滿(mǎn)足題意的a的取值范圍．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，x₀³+2x₀²+a），而切線的斜率k=y′=3x₀²+4x₀，
所以切線方程為：y-（x₀³+2x₀²+a）=（3x₀²+4x₀）（x-x₀），
把原點(diǎn)（0，0）代入得：2x₀³+2x₀²-a，
所以過(guò)原點(diǎn)向曲線y=x³+2x²+a可作三條切線，方程2x₀³+2x₀²-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
設(shè)h（x）=2x³+2x²-a，所以令h′（x）=6x²+4x=2x（3x+2）=0，解得x=0或x=-

2

3

，
則x，h′（x），h（x）的變化如下圖：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

根據(jù)圖形可知：h（x）_極大值=h（-

2

3

）=

8

27

-a，h（x）_極小值=h（0）=-a，
根據(jù)題意

h(- 2 3 )＞0 h(0)＜0

，即

8 27 -a＞0 -a＜0

，解得：0＜a＜

8

27

，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，

8

27

）．
故答案為：（0，

8

27

）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．