Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則存在
，使得. 試用這個結(jié)論證明：若函數(shù)
（其中），則對任意，都有；
（Ⅲ）已知正數(shù)滿足，求證：對任意的實(shí)數(shù)，若時，都
有.

Answer 1

（Ⅰ） ；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在極值時有極值求出參數(shù)的值；（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)法求解；（Ⅲ）由已知條件得出，再利用第（Ⅱ）問的結(jié)論對任意，都有求解.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020543091456.png" style="vertical-align:middle;" />，且
所以，得，此時.
當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故                 4分
（Ⅱ）令，
則.
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則根據(jù)結(jié)論可知：存在
使得                                7分
又，
當(dāng)時，，從而單調(diào)遞增，；
當(dāng)時，，從而單調(diào)遞減，；
故對任意，都有         .           9分
（Ⅲ），且，，
 
同理，                12分
由（Ⅱ）知對任意，都有，從而
．     14分