Question

一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示,其中 M , N 分別是 AF、BC 的中點，

（1）求證： MN // 平面 CDEF ；

（2）求二面角 A-CF-B 的余弦值；

 

Answer 1

（1）詳見解析;（2）．

【解析】

試題分析：（1）由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，∠CBF=90°，由此能證明MN∥平面CDEF．（2）（法一）作BQ⊥CF于Q，連結(jié)AQ，由已知得AB⊥面BCF，AB⊥CF，BQ⊥CF，∠AQB為所求的二面角的平面角，由此能求出二面角A-CF-B的余弦值．

（2）（法二）：以EA，AB，AD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-CF-B的余弦值．

試題解析： 解（1）證明：由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=,

,連結(jié)BE, M在BE上，連結(jié)CE

EM=BM,CN=BN, 所以∥,所以平面

（2）方法一：作BQ⊥CF于Q，連結(jié)AQ，

面BFC⊥面ABFE，面ABFE∩面BFC=BF，

AB?面ABFE，AB⊥BF，

∴AB⊥面BCF，

CF?面BCF，∴AB⊥CF，BQ⊥CF，AB∩BQ=B，

∴CF⊥面ABQ，AQ?面ABQ，

AQ⊥CF，∴∠AQB為所求的二面角的平面角，（8分）

在Rt△ABQ中，tan∠AQB=，

∴cos∠AQB＝，

∴二面角A-CF-B的余弦值為．

（2）方法二：以EA,AB,AD所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

所以

面CBF法向量為

設(shè)面ACF法向量為，

取，所以

設(shè)二面角為，

考點：1．用空間向量求平面間的夾角；2．直線與平面平行的判定．