Question

直線l過點(diǎn)P（0，-2），按下列條件求直線l的方程
（1）直線l與兩坐標(biāo)軸圍成三角形面積為4；
（2）直線l與線段AB有公共點(diǎn)（包括線段兩端點(diǎn)），且A（1，2）、B（-4，1），求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l方程的斜率為k，由過P表示出直線l的方程，分別令x和y等于0求出與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用三角形的面積公式表示出與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積，讓其值等于4列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出直線l的方程；
（2）由直線l恒過P（0，-2），由A，B及P的坐標(biāo)分別求出直線PA和直線PB方程的斜率，根據(jù)直線l與線段AB有公共點(diǎn)，結(jié)合圖形，由求出的兩斜率即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)直線l方程為：y=kx-2（1分）
則直線l與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為(

2

k

，0)，（0，-2）（3分）
∴圍成三角形面積為

1

2

•|

2

k

|•2=4（5分）
∴k=±

1

2

，
∴直線l方程為x+2y+4=0或x-2y-4=0；（7分）
（2）由直線方程y=kx-2可知直線過定點(diǎn)P（0，-2），
∵kPB=

1-(-2)

(-4)-0

=-

3

4

，kPA=

2-(-2)

1-0

=4，（11分）
∴要使直線l與線段PQ有交點(diǎn)，則k的取值范圍是k≥4或k≤-

3

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線的截距式方程，以及直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系．學(xué)生作第二問時(shí)，求出特殊位置時(shí)的斜率的值，借助圖形寫出k的取值范圍，考查了學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力．