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【題目】已知函數，.

（1）判斷函數在區(qū)間上的零點的個數；

（2）記函數在區(qū)間上的兩個極值點分別為、，求證：.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）利用導數分析函數在區(qū)間上的單調性與極值，結合零點存在定理可得出結論；

（2）設函數的極大值點和極小值點分別為、，由（1）知，，且滿足，，于是得出，由得，利用正切函數的單調性推導出，再利用正弦函數的單調性可得出結論.

（1），，

，當時，，，，則函數在上單調遞增；

當時，，，，則函數在上單調遞減；

當時，，，，則函數在上單調遞增.

，，，，.

所以，函數在與不存在零點，在區(qū)間和上各存在一個零點.

綜上所述，函數在區(qū)間上的零點的個數為；

（2），.

由（1）得，在區(qū)間與上存在零點，

所以，函數在區(qū)間與上各存在一個極值點、，且，，

且滿足即，，

，

又，即，，

，，，

由在上單調遞增，得，

再由在上單調遞減，得

，即.

練習冊系列答案
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（1）求證：直線平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

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A.B.C.﹣2D.2

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（Ⅰ）以上述樣本的頻率作為概率，在晝夜兩個批次中分別抽取2件產品，求其中恰有1件不合格產品的概率；

（Ⅱ）若每批次各生產1000件，已知每件產品的成本為5元，每件合格品的利潤為10元；若對產品檢驗，則每件產品的檢驗費用為2.5元；若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對用戶賠償，這時生產的每件不合格品工廠要損失25元．以上述樣本的頻率作為概率，以總利潤的期望值為決策依據，分析是否要對每個批次的所有產品作檢測？

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（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點，與直線相交于點，是橢圓上一點且滿足（其中為坐標原點），試問在軸上是否存在一點，使得為定值？若存在，求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由.

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（Ⅱ）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.

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【題目】已知F為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，其中A在x軸上方，O是坐標原點，若，，則以AB為直徑的圓的標準方程為____．

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