如圖1,在平行四邊形
ABCD中,
AB=1,
BD=
,∠
ABD=90°,
E是
BD上的一個動點,現(xiàn)將該平行四邊形沿對角線
BD折成直二面角
A-
BD-
C,如圖2所示.
(1)若
F、
G分別是
AD、
BC的中點,且
AB∥平面
EFG,求證:
CD∥平面
EFG;
(2)當圖1中
AE+
EC最小時,求圖2中二面角
A-
EC-
B的大小.
試題分析:(1)證明(略) 4分
(2)由圖1可知,當
AE+
EC最小時,
E是
BD的中點
∵平面
ABD⊥平面
BCD,
AB⊥
BD,∴
AB⊥面
BCD.
故以
B為坐標原點,平行于
CD的直線為
x軸,
BD所在的直線為
y軸,
AB所在的直線為
z軸,建立
如圖所示空間直角坐標系
B-
xyz.
則
A(0,0,1),
C(1,
,0),
D(0
,0),
E(0,
,0)
=(0,-
,1),
=(1,
,0)
設平面
AEC的一個法向量為
n1=(
x,
y,
z)
則
Þ
解得
x=-
z,
y=
z∴平面
AEC的一個法向量為
n1=(-1,
,1)
而平面
BCE的一個法向量為
n2=(0,0,1)
∴
cos<
n1,
n2> =
10'
顯然,二面角
A-
EC-
B為銳角,所以,二面角
A-
EC-
B的大小為60°. 12分
點評:二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角,但結果往往求不對,出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
將正方形
沿對角線
折成直二面角
,有如下四個結論:
①
⊥
; ②△
是等邊三角形;
③
與平面
所成的角為60°; ④
與
所成的角為60°.
其中錯誤的結論是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
正四棱錐(底面為正方形,頂點在底面上的射影是底面的中心)
的底面邊長為2,高為2,
為邊
的中點,動點
在表面上運動,并且總保持
,則動點
的軌跡的周長為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,
BCD=60
,E是CD的中點,PA
底面ABCD,PA=2.
(1)證明:平面PBE
平面PAB;
(2)求PC與平面PAB所成角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
如圖,在正方體
中,
、
分別是
、
的中點,則異面直線
與
所成角的大小是__________.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
正三棱錐的側面與底面所成的角的余弦值為
,則側棱與底面所成角的正弦值為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若
是兩條不同的直線,
是三個不同的平面,則下列命題中的真命題是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知兩條不同的直線
,兩個不同的平面
,則下列命題中正確的是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖4,已知四棱錐
,底面
是正方形,
面
,點
是
的中點,點
是
的中點,連接
,
.
(1)求證:
面
;
(2)若
,
,求二面角
的余弦值.
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