將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:
a1
a2a3a4
a5a6a7a8a9
…
已知表中的第一列數(shù)a1,a2,a5,…構(gòu)成一個等差數(shù)列,記為{bn},且b2=4,b5=10.表中每一行正中間一個數(shù)a1,a3,a7,…構(gòu)成數(shù)列{cn},其前n項(xiàng)和為Sn.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若上表中,從第二行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,公比為同一個正數(shù),且a13=1.①求Sn;②記M={n|(n+1)cn≥λ,n∈N*},若集合M的元素個數(shù)為3,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
分析:(1)設(shè){b
n}的公差為d,則
,由此能求出數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式.
(2)①設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q,由于前n行共有1+3+5+…+(2n-1)=n
2個數(shù),且3
2<13<4
2,解得
q=,
cn=2n•()n-1=,所以
Sn=+++…+,由錯位相減法能夠求得
Sn=8-.
②由
cn=,知不等式(n+1)c
n≥λ,可化為
≥λ,設(shè)
f(n)=,解得
f(1)=4,f(2)=f(3)=6,f(4)=5,f(5)=,由此能夠推導(dǎo)出λ的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè){b
n}的公差為d,
則
,解得
,∴b
n=2n.
(2)①設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q,
由于前n行共有1+3+5+…+(2n-1)=n
2個數(shù),且3
2<13<4
2,
∴a
10=b
4=8,
∴a
13=a
10q
3=8q
3,
又a
13=1,解得
q=,
∴
cn=2n•()n-1=,
∴
Sn=+++…+,
Sn=++…++,
∴
Sn=+++…+-=4-
解得
Sn=8-.
②由①知,
cn=,不等式(n+1)c
n≥λ,可化為
≥λ,
設(shè)
f(n)=,解得
f(1)=4,f(2)=f(3)=6,f(4)=5,f(5)=,
∴n≥3時,f(n+1)<f(n).
∵集合M的元素個數(shù)是3,
∴λ的取值范圍是(4,5].
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和的計(jì)算和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,解題時要注意方程思想和錯位相減求和法的合理運(yùn)用,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.