Question

（2009•閔行區(qū)二模）（理）斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，且與拋物線交于兩點A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）將直線AB按向量

a

=(-p，0)平移得直線m，N是m上的動點，求

NA

•

NB

的最小值．
（3）設C（p，0），D為拋物線y²=2px（p＞0）上一動點，是否存在直線l，使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，得到拋物線的方程，再根據拋物線的定義得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，
（2）設直線l的方程，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量坐標運算，求得

NA

•

NB

的以N點坐標表示的函數式，利用二次函數求最值的方法，可求得所求的最小值．
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，再利用l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值，求出p，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），p=2時，直線AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0（2分）
則x₁+x₂=6，由定義可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．（4分）
（2）直線AB：y=x-

p

2

，代入y²=2px（p＞0）中，可得：x2-3px+

1

4

p2=0
則x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

，設N(x0，x0+

p

2

)，
則

NA

=(x1-x0，y1-x0-

p

2

)，

NB

=(x2-x0，y2-x0-

p

2

)
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

2 0

+y1y2-(x0+

p

2

)(y1+y2)+(x0+

p

2

)2（2分）
由x1+x2=3p，x1x2=

p2

4

，y1y2=-p2，y1+y2=2p（4分）
則

NA

•

NB

=2

x

2 0

-4px0-

3

2

p2=2(x0-p)2-

7

2

p2
當x₀=p時，

NA

•

NB

的最小值為-

7

2

p2．                            （6分）
（3）假設滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，
設CD的中點為O'，l與以CD為直徑的圓相交于點P、Q，設PQ的中點為H，
則O'H⊥PQ，O'點的坐標為(

x1+p

2

，

y1

2

)．
∵|O′P|=

1

2

|CD|=

1

2

( x   1 -p)2+y12

=

1

2

x 2 1 +p2

，
|O′H|=|a-

x1+p

2

|=

1

2

|2a-x1-p|，（2分）
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

(

x

2 1

+p2)-

1

4

(2a-x1-p)2=(a-

p

2

)x1+a(p-a)，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[(a-

p

2

)x1+a(p-a)]．                    （5分）
令a-

p

2

=0，得a=

p

2

，此時|PQ|=p為定值，
故滿足條件的直線l存在，其方程為x=

p

2

，即拋物線的通徑所在的直線． （7分）

點評：此題考查拋物線的定義，及向量坐標運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．