(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f x)=ln(1+x)+a x+1)2a為常數(shù)).
(Ⅰ)若函數(shù)f x)在x=1處有極值,判斷該極值是極大值還是極小值;
(Ⅱ)對(duì)滿足條件a的任意一個(gè)a,方程f x)=0在區(qū)間(0,3)內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是多少?
(1)極大值;(2)2
(Ⅰ)fx)=

                                            …………2分


—1<x<1時(shí),f'(x)>0;x>1時(shí),f'(x)<0,
fx在(—1,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù)
所以f1)為函數(shù)fx)的極大值                                         …………4分
(Ⅱ)

              …………5分



+∞)是為減函數(shù)
因此fx)在x=—1+處取得區(qū)間(—1,+∞)上的最大值                   ——6分
f(—1+)=0得a=—                                       …………7分
(1)當(dāng)a<時(shí),f(—1+
所以方程fx)=0在區(qū)間(0,3)內(nèi)無實(shí)數(shù)根                     …………8分
(2)當(dāng)a時(shí),f(—1+
所以方程fx)=0在區(qū)間(0,3)內(nèi)有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根
—1+…………9分
(3)當(dāng)a≤時(shí),≤1,
f(0)a<0,f(—1+
f(3)=ln4+16a≤ln4-2<0,
所以方程fx)=0在區(qū)間(0,3)內(nèi)有2個(gè)實(shí)數(shù)根.              …………11分
綜上所述,
當(dāng)a時(shí),方程fx)=0在區(qū)間(0,3)內(nèi)無實(shí)數(shù)根;
當(dāng)a時(shí),方程fx)=0在區(qū)間(0,3)內(nèi)有1個(gè)實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時(shí),方程fx)=0 在區(qū)間(0,3),內(nèi)有2個(gè)實(shí)數(shù)根.
…………12分
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