Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù).證明：對(duì)于任意的，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)證明

【解析】

（I）求得切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式分離常數(shù)，得到恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，由此求得的取值范圍.（III）先求得的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)證得在上有一個(gè)零點(diǎn).再利用導(dǎo)數(shù)證得在上沒(méi)有零點(diǎn)，由此得證.

解：（Ⅰ）已知函數(shù)，

可得，且，

函數(shù)在處的切線方程為.

（Ⅱ）對(duì)任意恒成立，所以.

令，則

令，解得.

當(dāng)時(shí)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.

所以，

所以，即，所以的取值范圍為.

（Ⅲ）證明：由已知，則.且可知.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，所以在有唯一實(shí)根.

當(dāng)時(shí)，令，則.，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.所以.所以在沒(méi)有實(shí)根.

綜上，對(duì)于任意的，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).