Question

某商場(chǎng)準(zhǔn)備在國慶節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商場(chǎng)決定從2種服裝商品，2種家電商品，3種日用商品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)．
（1）試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；
（2）商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高150元，同時(shí)，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都獲得數(shù)額為m的獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是

1

2

，請(qǐng)問：商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額m最高定為多少元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利？

Answer 1

分析：（1）求互斥事件的概率一般有兩種方法，直接法和間接法，本小題用用間接法比較簡(jiǎn)便．事件“至少有一種是日用商品”的對(duì)立事件是“商品中沒有日用商品”，用公式P(A)=1-P(

.

A

)，即運(yùn)用逆向思維；
（2）欲求m的值，需要先求獎(jiǎng)金總額的期望值，要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額即可．

解答：解：（1）從2種服裝商品，2種家電商品，3種日用商品中，選出3種商品一共有

C

3 7

種選法，選出的3種商品中沒有日用商品的選法有

C

3 4

種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為P=1-

C 3 4

C 3 7

=

31

35

．
（2）顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一隨機(jī)變量，
設(shè)為X，其所有可能值為0，m，2m，3m，
X=0時(shí)表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中都沒有獲獎(jiǎng)，
所以P(X=0)=

C

0 3

(

1

2

)0•(

1

2

)3=

1

8

，
同理可得P(X=m)=

C

1 3

(

1

2

)1•(

1

2

)2=

3

8

，P(X=2m)=

C

2 3

(

1

2

)2•(

1

2

)1=

3

8

，P(X=3m)=

C

3 3

(

1

2

)3•(

1

2

)0=

1

8

．
于是顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是E(X)=0×

1

8

+m×

3

8

+2m×

3

8

+3m×

1

8

=1.5m．
要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，
因此應(yīng)有1.5m≤150，
所以m≤100．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型以及運(yùn)用互斥事件求概率的方法，同時(shí)考查期望的求法．