如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).如何設(shè)計, 可以使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠).
參考解析

試題分析:假設(shè)角AMN的值為θ,由三角形AMN中角NAM為.由正弦定理可得到AM的表達式,在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值,由角θ的取值范圍,再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性知識即可得到結(jié)論.本小題用了五種解法分別從三角,坐標系,圓等方面入手.
解法一:設(shè)∠AMN=θ,在△AMN中,
因為MN=2,所以AM=sin(120°-θ).       2分
在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ).       4分
AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-2×2×sin(120°θ)cos(60°+θ)                   6分
sin2(θ+60°)-sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4
[1-cos (2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4
=-[sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+
sin(2θ+150°),θ∈(0,120°).              10分
當且僅當2θ+150°=270°,即θ=60°時,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
答:設(shè)計∠AMN為60°時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小.       12分

解法二(構(gòu)造直角三角形):
設(shè)∠PMD=θ,在△PMD中,
∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ.     2分
在△AMN中,∠ANM=∠PMD=θ,∴,
AM=sinθ,∴AD=sinθ+2cosθ,(θ≥時,結(jié)論也正確).     4分
AP2=AD2+PD2=(sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2
sin2θ+sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ             6分
·sin2θ+4=sin2θ-cos2θ+
sin(2θ-),θ∈(0,).          10分
當且僅當2θ-,即θ=時,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2
此時AM=AN=2,∠PAB=30°            12分
解法三:設(shè)AM=x,AN=y(tǒng),∠AMN=α.
在△AMN中,因為MN=2,∠MAN=60°,
所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN,
即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.          2分
因為,即,
所以sinα=y,cosα=.         4分
cos∠AMP=cos(α+60°)=cosα-sinα=··y=. 6分
在△AMP中,AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP,
即AP2=x2+4-2×2×x×=x2+4-x(x-2y)=4+2xy.        10分
因為x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即xy≤4.
所以AP2≤12,即AP≤2.
當且僅當x=y(tǒng)=2時,AP取得最大值2.        
答:設(shè)計AM=AN=2 km時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最。      12分
解法四(坐標法):以AB所在的直線為x軸,A為坐標原點,建立直角坐標系.
設(shè)M(x1,0),N(x2, x2),P(x0,y0).∵MN=2,
∴(x1-x2)2+3x22=4.          2分
MN的中點K(,x2).
∵△MNP為正三角形,且MN=2,∴PK=,PK⊥MN,
∴PK2=(x0)2+(y0x2)2=3,
kMN·kPK=-1,即·=-1,      4分
∴y0x2 (x0),∴(y0x2)2 (x0)2
∴(1+)(x0)2=3,即 (x0)2=3,∴(x0)2x22
∵x0>0  ∴x0x2,
∴x0x1+2x2,∴y0x1.                          6分
∴AP2=x02+y02=(2x2x1)2x12=x12+4x22+2x1x2
=4+4x1x2≤4+4×2=12,        10分
即AP≤2.
答:設(shè)計AM=AN=2 km時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小.   12分

解法五(幾何法):由運動的相對性,可使△PMN不動,點A在運動.
由于∠MAN=60°,∴點A在以MN為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上,   4分
設(shè)圓弧所在的圓的圓心為F,半徑為R,
由圖形的幾何性質(zhì)知:AP的最大值為PF+R.  6分
在△AMN中,由正弦定理知:=2R,
∴R=,    8分
∴FM=FN=R=,又PM=PN,∴PF是線段MN的垂直平分線.
設(shè)PF與MN交于E,則FE2=FM2-ME2=R2-12
即FE=,又PE=.   10
∴PF=,∴AP的最大值為PF+R=2.            
答:設(shè)計AM=AN=2 km時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最。       12分
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值為( )
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中,若,則的面積為  (   ).
A.B.C.1D.

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 (    )
A.B.C.D.

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