已知函數(shù)滿足對任意實(shí)數(shù)都有成立，且當(dāng)時(shí)，,.

（1）求的值；

（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明；

（3）若對于任意給定的正實(shí)數(shù)，總能找到一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，則稱函數(shù)在處連續(xù)。試證明：在處連續(xù)．

 

【答案】

（1）；（2）在上單調(diào)遞增; （3）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）利用求，可得；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義：設(shè)，則，，從而在上單調(diào)遞增; （3）利用賦值法先求．要證，對，當(dāng)時(shí)，取，則當(dāng),即時(shí)，由單增可得，即；當(dāng)時(shí)，必，使得，取，利用證明．

試題解析：（1） ；

（2）設(shè)，則，，在上單調(diào)遞增；

（3）令，得，．對任意，，，，又，，要證，對，當(dāng)時(shí)，取，則當(dāng)，即時(shí)，由單增可得，即；當(dāng)時(shí)，必，使得，取，則當(dāng)，即時(shí)，有，而，，．

綜上，在處連續(xù)．

考點(diǎn)：1．賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值；2．抽血函數(shù)的單調(diào)性；3．抽象函數(shù)的連續(xù)性．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a為常數(shù)）．
（1）如果對任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)p，q，r滿足：p，q，r中的某一個(gè)數(shù)恰好等于a，且另兩個(gè)恰為方程f（x）=0的兩實(shí)根，判斷①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設(shè)H(a)=-
16
[g(a)-27]，數(shù)列{an}滿足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），試判斷an+1與an的大小，并證明之．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科）已知函數(shù)y=f(x)，x∈R，對任意實(shí)數(shù)，x均有f(x)＜f(x+a)，a是正的實(shí)常數(shù)，下列結(jié)論中說法正確的序號是
（3）（4）
（3）（4）
；
（1）f（x）一定是增函數(shù)；
（2）f（x）不一定是增函數(shù)，但滿足上述條件的所有f（x）一定存在遞增區(qū)間；
（3）存在滿足上述條件的f（x），但它找不到遞增區(qū)間；
（4）存在滿足上述條件的函數(shù)f（x），既有遞增區(qū)間又有遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y=kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”．已知函數(shù)h（x）=x2，m（x）=2elnx（e為自然對數(shù)的底數(shù)），φ（x）=x-2，d（x）=-1．
有下列命題：
①f（x）=h（x）-m（x）在x∈(0，
e
)遞減；
②h（x）和d（x）存在唯一的“隔離直線”；
③h（x）和φ（x）存在“隔離直線”y=kx+b，且b的最大值為-
1
4
；
④函數(shù)h（x）和m（x）存在唯一的隔離直線y=2
e
x-e．
其中真命題的個(gè)數(shù)（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•綿陽三模）已知函數(shù)f（x）=2x3-3ax2+a+b（其中a，b為實(shí)常數(shù)）．
（I）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II） 當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：-a＜b＜a3-a；
（III） 若f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，設(shè)關(guān)于X的方程f（x）=2x3-2ax2+3x+a+b的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根為x1，x2．試問是否存在實(shí)數(shù)m，使得m2+tm+1≤|x1-x2|對任意滿足條件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(x∈R)滿足下列條件：對任意的實(shí)x1、x2都有λ（x1-x2）2≤(x1-x2)［f(x2)-f(x2)］和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,其中λ是大于0的常數(shù).設(shè)實(shí)數(shù)a0,a,b滿足f(a0)=0和b=a-λf(a).

(1)證明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;

(2)證明（b-a0）2≤(1-λ2)(a-a0)2.

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