已知函數(shù)f(x)=(x∈R)滿足下列條件：對任意的實x1、x2都有λ（x1-x2）2≤(x1-x2)［f(x2)-f(x2)］和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,其中λ是大于0的常數(shù).設(shè)實數(shù)a0,a,b滿足f(a0)=0和b=a-λf(a).

(1)證明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;

(2)證明（b-a0）2≤(1-λ2)(a-a0)2.

解析：(1)任取x1,x2∈R,x1≠x2，則由?λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］                ①

和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|                                                                                       ②

可知λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|2,從而λ≤1.

假設(shè)有b0≠a0，使得f(b0)=0,則由①式知0＜λ(a0-b0)2≤(a0-b0)·［f(a0)-f(b0)］=0矛盾，故不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.

(2)由b=a-λf(a)

可知（b-a0）2=［a-a0-λf(a)］2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2［f(a)］2                      ③

由f(a0)=0和①式知，（a-a0）f(a)=(a-a0)［f(a)-f(a0)］≥λ(a-a0)2                         ④

由f(a0)=0和②式知，［f(a)］2=［f(a)-f(a0)］2≤(a-a0)2                                        ⑤

將④⑤代入③得（b-a0）2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2.


練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，則a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定義域上的遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù)．則實數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中實數(shù)a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調(diào)性．

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