在平面直角坐標系中,已知三個點列{An},{Bn},{Cn},其中An(n,an),Bn(n,bn),Cn(n-1,0),滿足向量
AnAn+1
與向量
BnCn
平行,并且點列{Bn}在斜率為6的同一直線上,n=1,2,3,….
(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)試用a1,b1與n表示an(n≥2);
(3)設a1=a,b1=-a,是否存在這樣的實數(shù)a,使得在a6與a7兩項中至少有一項是數(shù)列{an}的最小項?若存在,請求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(4)若a1=b1=3,對于區(qū)間[0,1]上的任意λ,總存在不小于2的自然數(shù)k,當n≥k時,an≥(1-λ)(9n-6)恒成立,求k的最小值.
分析:(1)由經(jīng)過兩點直線的斜率公式列式,結(jié)合題意列式:
bn+1-bn
(n+1)-n
=6
,化簡得{bn}是公差為6的等差數(shù)列;
(2)求出
AnAn+1
、
BnCn
的坐標,平根據(jù)向量平行的條件列式,化簡得bn=an+1-an,再根據(jù)bn=b1+6(n-1)采用累加法,結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可算出an的表達式;
(3)由(2)的結(jié)論,得an=3n2-(a+9)n+2a+6,利用二次函數(shù)的圖象可得若a6與a7兩項中至少有一項是數(shù)列{an}的最小項,則對稱軸必位于[5.5,7.5]內(nèi),由此解關于a的不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍;
(4)由(2)的結(jié)論,得an=3(n2-2n+2),原不等式化簡為(3n-2)λ+n2-5n+4≥0.記f(λ)=(3n-2)λ+n2-5n+4,結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立關于n的不等式組,解出n≥4或n≤1,結(jié)合n≥2可得k的最小值為4.
解答:解:(1)∵點列{Bn}所在直線的斜率為6,
∴根據(jù)直線斜率的公式,得
bn+1-bn
(n+1)-n
=6

即bn+1-bn=6,因此數(shù)列{bn}是公差為6的等差數(shù)列.…3分
(2)∵
AnAn+1
=(1,an+1-an)
,
BnCn
=(-1,-bn)
,
AnAn+1
BnCn

∴bn=an+1-an…5分
又∵bn=b1+6(n-1),
可得an+1-an=b1+6(n-1),分別取n=1,2,3,…,n-1,得
a2-a1=b1,a3-a2=b1+6×1,a4-a3=b1+6×2,…an-an-1=b1+6(n-2),
∴以上等式相加得an-a1=(n-1)b1+6×
(n-2)(n-1)
2

化簡,得an=a1+(n-1)b1+3(n2-3n+2).…8分
(3)由(2)的結(jié)論,得a1=a且b1=-a時,
an=a-(n-1)a+3(n2-3n+2)=3n2-(a+9)n+2a+6…10分
若存在這樣的實數(shù)a,使得在a6與a7兩項中至少有一項是數(shù)列{an}的最小項,
則有5.5≤
a+9
6
≤7.5
,解之得24≤a≤36.…13分
(4)由(2)的結(jié)論,得a1=b1=3時
an=3+3(n-1)+3(n2-3n+2)=3(n2-2n+2)
由an≥(1-λ)(9n-6),得3(n2-2n+2)≥(1-λ)(9n-6),
即(3n-2)λ+n2-5n+4≥0,…15分
記f(λ)=(3n-2)λ+n2-5n+4,
則有
f(0)≥0
f(1)≥0
,即
n2-5n+4≥0
n2-2n+2≥0
,
解得n≥4或n≤1,結(jié)合n≥2,可得n≥4,因此k的最小值為4.…18分.
點評:本題給出以數(shù)列的項作為向量的坐標,在向量平行的情況下求數(shù)列的通項,并研究不等式恒成立的問題.著重考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式,考查了向量的坐標運算、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和不等式恒成立的討論等知識點,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系中,以點(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點,若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點,則r=
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案