三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為A1B1C1,
∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,=.
(1)證明:平面A1AD⊥平面BCC1B1;
(2)求二面角A—CC1—B的余弦值.
(1) 證明略(2) 二面角A—CC1—B余弦值為.
方法一 (1) ∵A1A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A1A⊥BC.
在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.
∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,
∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,
即AD⊥BC.
又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.
∵BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
(2) 如圖①,作AE⊥C1C交C1C于E點,連接BE,由已知得AB⊥平面ACC1A1,
∴AE是BE在平面ACC1A1內(nèi)的射影.
由三垂線定理知BE⊥CC1,
∴∠AEB為二面角A—CC1—B的平面角.                                                 圖①
過C1作C1F⊥AC交AC于F點,
則CF=AC-AF=1,
C1F=A1A=,∴∠C1CF=60°.
在Rt△AEC中,
AE=ACsin60°=2×=,
在Rt△BAE中,tan∠AEB===,
∴cos∠AEB=,
即二面角A—CC1—B余弦值為.
方法二 (1) 如圖②,建立空間直角坐標系,

圖②
則A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),
A1(0,0,),C1(0,1, ).
∵BD∶DC=1∶2,∴=,
∴D點坐標為,
=, =(-,2,0),=(0,0,).
·=0,·=0,
∴BC⊥AA1,BC⊥AD.又A1A∩AD=A,
∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1,
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
(2) ∵BA⊥平面ACC1A1,取m==(,0,0)為平面ACC1A1的法向量.
設平面BCC1B1的法向量為n=(x,y,z),
·n=0,·n=0,

∴x=y,z=,可取y=1,則n=
cos〈m,n〉=
=,
即二面角A—CC1—B的余弦值為.
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