【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD為等邊三角形, ,AB⊥AD,AB∥CD,點M是PC的中點. (I)求證:MB∥平面PAD;
(II)求二面角P﹣BC﹣D的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)取PD中點H,連結(jié)MH,AH. 因為 M為 中點,所以 .
因為 .所以AB∥HM且AB=HM.
所以四邊形ABMH為平行四邊形,所以 BM∥AH.
因為 BM平面PAD,AH平面PAD,
所以BM∥平面PAD.
解:(Ⅱ) 取AD中點O,連結(jié)PO.
因為 PA=PD,所以PO⊥AD.
因為 平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.取BC中點K,連結(jié)OK,則OK∥AB.
以O(shè)為原點,如圖建立空間直角坐標系,
設(shè)AB=2,則 , .
平面BCD的法向量 ,
設(shè)平面PBC的法向量 ,
由 ,得 令x=1,則 .
.
由圖可知,二面角P﹣BC﹣D是銳二面角,
所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)取PD中點H,連結(jié)MH,AH.推導出四邊形ABMH為平行四邊形,從而BM∥AH,由此能證明BM∥平面PAD.(Ⅱ) 取AD中點O,連結(jié)PO.以O(shè)為原點,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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【題目】如圖,已知六棱錐P﹣ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB則下列結(jié)論正確的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直線BC∥平面PAE
D.直線PD與平面ABC所成的角為45°
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【題目】已知關(guān)于x的不等式(m﹣1)x2+(m﹣1)x+2>0
(1)若m=0,求該不等式的解集
(2)若該不等式的解集是R,求m的取值范圍.
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【題目】已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬噸和260萬噸,需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地.東車站每年最多能運280萬噸煤,西車站毎年最多能運360萬噸煤,甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為1元/t和1.5元/t,乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為0.8元/t和1.6元/t.煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運方案,能使總運費最少?
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【題目】在正項等差數(shù)列{an}中a1和a4是方程x2﹣10x+16=0的兩個根,若數(shù)列{log2an}的前5項和為S5且S5∈[n,n+1],n∈Z,則n= .
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【題目】下列命題: ①“若a2<b2 , 則a<b”的否命題;
②“全等三角形面積相等”的逆命題;
③“若a>1,則ax2﹣2ax+a+3>0的解集為R”的逆否命題;
④“若 x(x≠0)為有理數(shù),則x為無理數(shù)”的逆否命題.
其中正確的命題是( )
A.③④
B.①③
C.①②
D.②④
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【題目】調(diào)查某車間20名工人的年齡,第i名工人的年齡為ai,具體數(shù)據(jù)見表:
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
ai | 29 | 28 | 30 | 19 | 31 | 28 | 30 | 28 | 32 | 31 | 30 | 31 | 29 | 29 | 31 | 32 | 40 | 30 | 32 | 30 |
(1)作出這20名工人年齡的莖葉圖;
(2)求這20名工人年齡的眾數(shù)和極差;
(3)執(zhí)行如圖所示的算法流程圖(其中 是這20名工人年齡的平均數(shù)),求輸出的S值.
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【題目】△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,1+ = .
(1)求A的大;
(2)若△ABC為銳角三角形,求函數(shù)y=2sin2B﹣2cosBcosC的取值范圍;
(3)現(xiàn)在給出下列三個條件:①a=1;②2c﹣( +1)b=0;③B=45°,試從中再選擇兩個條件,以確定△ABC,求出所確定的△ABC的面積.
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【題目】如圖是某位籃球運動員8場比賽得分的莖葉圖,其中一個數(shù)據(jù)染上污漬用x代替,則這位運動員這8場比賽的得分平均數(shù)不小于得分中位數(shù)的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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