【題目】如圖,已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓的一個焦點為, 是橢圓上的一個點.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)設(shè)橢圓的上、下頂點分別為 )是橢圓上異于的任意一點, 軸, 為垂足, 為線段中點,直線交直線于點, 為線段的中點,如果的面積為,求的值.

【答案】(1).(2)

【解析】試題分析:(1)設(shè)橢圓方程為,由題意,得,再由是橢圓上的一個點,即可求出橢圓方程;

(2)根據(jù)題意,求出直線AB的方程、點M,C,N的坐標,計算,可得,再利用,結(jié)合橢圓方程,求解可得結(jié)果.

試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為,由題意,得. 因為,所以.又是橢圓上的一個點,所以,解得(舍去),從而橢圓的標準方程為

(2)因為 ,則,且.因為為線段中點, 所以.又,所以直線的方程為.因為,得. 又, 為線段的中點,有

所以

因此,

=.從而

因為, ,

所以在中, ,因此.從而有,解得

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