【題目】如圖,DE∥BC,BC=2DE,CA⊥CB,CA⊥CD,CB⊥CD,F(xiàn)、G分別是AC、BC中點(diǎn).
(1)求證:平面DFG∥平面ABE;
(2)若AC=2BC=2CD=4,求二面角E﹣AB﹣C的正切值.
【答案】
(1)證明:∵F、G分別是AC、BC中點(diǎn).
∴FG∥AB,
∵FG平面ABE,AB平面ABE,
∴FG∥平面ABE,
∵DE∥BC,BC=2DE,G是BC中點(diǎn),
∴DE BG,∴四邊形DEBG是平行四邊形,
∴DG∥BE,
∵DG平面ABE,BE平面ABE,
∴DG∥平面ABE,
∵DG∩FG=G,DG,F(xiàn)G平面DFG,
AB∩BE=B,AB,BE平面ABE,
∴平面DFG∥平面ABE
(2)解:∵DE∥BC,BC=2DE,CA⊥CB,CA⊥CD,CB⊥CD,F(xiàn)、G分別是AC、BC中點(diǎn).
∴以C為原點(diǎn),CA為x軸,以CB為y軸,以CD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AC=2BC=2CD=4,
∴A(4,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(0,1,2),
=(﹣4,1,2), =(﹣4,2,0), =(﹣4,0,2),
設(shè)平面ABE的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,0,2),
平面ABC的法向量 =(0,0,1),
則cos< >= .
∴二面角E﹣AB﹣C的余弦值為cosα= ,
則sinα= ,tanα= = .
∴二面角E﹣AB﹣C的正切值為 .
【解析】(1)推導(dǎo)出FG∥AB,從而FG∥平面ABE,從而出四邊形DEBG是平行四邊形,從而DG∥BE,進(jìn)而DG∥平面ABE,由此能證明平面DFG∥平面ABE.(2)以C為原點(diǎn),CA為x軸,以CB為y軸,以CD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣C的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a是不為0的常數(shù)),當(dāng)x∈[﹣2,2]時(shí),函數(shù)f(x)的最大值與最小值的和為( )
A.a+3
B.6
C.2
D.3﹣a
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形, 且∠DAB=90°,∠ABC=45°,CB= ,AB=2,PA=1
(1)求證:AB∥平面PCD;
(2)求證:BC⊥平面PAC;
(3)若M是PC的中點(diǎn),求三棱錐C﹣MAD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是平行四邊形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB= ,EF=1,BC= ,且M是BD的中點(diǎn)..
(1)求證:EM∥平面ADF;
(2)求直線DF和平面ABCD所成角的正切值;
(3)求二面角D﹣AF﹣B的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中: (Ⅰ)求證:AC∥平面A1BC1;
(Ⅱ)求證:平面A1BC1⊥平面BB1D1D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(第二季)亮點(diǎn)頗多,十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞,在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩(shī)詞排在后六場(chǎng),且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場(chǎng)的排法有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 平面,已知為線段的中點(diǎn).
(I)求證: 平面;
(II)求平面與平面所成銳二面角的余弦角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為( )
A.130
B.170
C.210
D.260
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