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【題目】已知函數.

1)當時,判斷函數的單調性;

2)若恒成立,求的取值范圍;

3)已知,證明.

【答案】1)當時,函數在區(qū)間單調遞增,單調遞減;

2;

3)證明過程見解析

【解析】

1)先求函數的定義域,再求導數,分別令即可求出單調性;(2)分離變量得恒成立,轉化為求的最大值,然后求導數判斷的單調性即可求出的最大值,從而求得結果;(3)對兩邊取對數,化簡變形可得,由(2)可知上單調遞減,結合條件即可證明.

由題意可知,函數的定義域為:.

1)當時,,

,則 ; ,則 ,

所以函數在區(qū)間單調遞增,單調遞減.

2)若恒成立,則恒成立,

又因為,所以分離變量得恒成立,

,則,所以,

時,;當時,,

即函數上單調遞增,在上單調遞減.

時,函數取最大值,,所以.

3)欲證,兩邊取對數,只需證明,

只需證明,即只需證明,

由(2)可知上單調遞減,且,

所以,命題得證.

練習冊系列答案
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