【題目】已知直線與拋物線交于，兩點，點為拋物線的焦點且.

（1）求的值；

（2）過點作不垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點，問：在軸上是否存在一點，使得軸總是平分？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）存在；點.

【解析】

（1）聯(lián)立和，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，表示出，代入可解.

（2）先討論直線斜率不存在的情況，此時顯然存在這樣的點；直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理表示，兩點的坐標(biāo)，再由軸總是平分，得到，表示出代入上式即可求解.

解：（1）根據(jù)條件可得點的坐標(biāo)為.

由可得.

設(shè)，，則，.

根據(jù)點，在拋物線上可得.

則，

∴.

（2）由（1）可知拋物線的方程為.

當(dāng)直線的斜率不存在時，軸上的除外的任一點均滿足使軸平分.

當(dāng)斜率存在時，由題可設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立消去得，

∴，.

假設(shè)在軸上存在一點，使得軸平分，則，

∴，∴.

又，，∴.

把（*）式代入上式化簡得，∴，

∴點.

綜上可知，在軸上存在一點，使得軸總是平分.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），直線（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系

（1）求曲線C與直線l的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線l與曲線C相交，交點為，直線與x軸交于Q點，求的取值范圍．

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（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）若，求的值．

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【題目】2020年是我國打贏脫貧攻堅戰(zhàn)收官之年，為落實“精準(zhǔn)扶貧”政策，某扶貧小組為一“對點幫扶”農(nóng)戶引種了一種新的經(jīng)濟農(nóng)作物，并指導(dǎo)該農(nóng)戶于2020年初開始種植.已知該經(jīng)濟農(nóng)作物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該經(jīng)濟農(nóng)作物的市場價格和畝產(chǎn)量均具有隨機性，且兩者互不影響，其具體情況如下表：

該經(jīng)濟農(nóng)作物畝產(chǎn)量

900

1200

該經(jīng)濟農(nóng)作物市場價格（元)

15

20

概率

概率

（1）設(shè)2020年該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝的純收入為元，求的分布列；

（2）若該農(nóng)戶從2020年開始，連續(xù)三年種植該經(jīng)濟農(nóng)作物，假設(shè)三年內(nèi)各方面條件基本不變，求這三年中該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝至少有兩年的純收入不少于16000元的概率；

（3）2020年全國脫貧標(biāo)準(zhǔn)約為人均純收入4000元.假設(shè)該農(nóng)戶是一個四口之家，且該農(nóng)戶在2020年的其他方面的支出與收入正好相抵，能否憑這一畝經(jīng)濟農(nóng)作物的純收入，預(yù)測該農(nóng)戶在2020年底可以脫貧？并說明理由.

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