設(shè)f(x)=x2-ln(x+1)
(1)當(dāng)x>0時,求證:f(x)<x3;
(2)當(dāng)n∈N*時,求證:
n
k=1
f(
1
k
)<1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
5
4
-
1
2n(n+1)
分析:(1)由題意,證明f(x)<x3恒成立,可以構(gòu)造函數(shù)h(x)=x2-ln(1+x)-x3,將證明不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)<0恒成立的問題,可利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定出函數(shù)f(x)=x2+2x-2ln(1+x)的最小值,若最小值大于等于0,則可得2ln(1+x)≤x2+2x成立
(2)由(1)知,f(
1
k
)<
1
k3
,即得到
n
k=1
f(
1
k
)<1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
,
用放縮法1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
5
4
-
1
2n(n+1)
,也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答:解:(1)令h(x)=x2-ln(1+x)-x3
h′(x)=2x-
1
x+1
-3x2
=-
3x3+(x-1)2
x+1
,
當(dāng)x>0時,h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減
又h(x)在x=0處連續(xù),h(0)=0,
故當(dāng)x>0時,h(x)<h(0)=0
即f(x)<x3(7分)
(2)若k∈N*時,∴
1
k
∈(0,+∞)

x=
1
k
,得f(
1
k
)<
1
k3

n
k=1
f(
1
k
)<1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
(10分)
用放縮法
當(dāng)n=1時,1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
5
4
-
1
2n(n+1)
成立,
當(dāng)n≥2時,
1
n3
=
1
n•n2
1
n(n2-1)
=
1
(n-1)n(n+1)
=
1
2
[
1
(n-1)n
-
1
n(n+1)
]

1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
1
2
{(
1
1•2
-
1
2•3
)+(
1
2•3
-
1
3•4
)+…+[
1
(n-1)n
-
1
n(n+1)
]
}
=1+
1
2
[
1
2
-
1
n(n+1)
]
=
5
4
-
1
2n(n+1)

故得
n
k=1
f(
1
k
)<1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
5
4
-
1
2n(n+1)
.(14分)
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用以及不等式證明問題,解題的關(guān)鍵是將不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值及利用放縮法證明不等式.
練習(xí)冊系列答案
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24、(附加題-選做題)(不等式證明選講)設(shè)f(x)=x2-x+l,實數(shù)a滿足|x-a|<l,求證:|f (x)-f (a)|<2(|a|+1).

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已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù),如果存在實數(shù)m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個函數(shù).設(shè)f (x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R),l(x)=2x2+3x-1,h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個二次函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)a=1,b=2,若h (x)為偶函數(shù),求h(
2
)
;
(Ⅱ)設(shè)b>0,若h (x)同時也是g(x)、l(x)在R上生成的一個函數(shù),求a+b的最小值;
(Ⅲ)試判斷h(x)能否為任意的一個二次函數(shù),并證明你的結(jié)論.

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(Ⅰ)設(shè)a=1,b=2,若h (x)為偶函數(shù),求數(shù)學(xué)公式;
(Ⅱ)設(shè)b>0,若h (x)同時也是g(x)、l(x)在R上生成的一個函數(shù),求a+b的最小值;
(Ⅲ)試判斷h(x)能否為任意的一個二次函數(shù),并證明你的結(jié)論.

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