設(shè)函數(shù)f(x)=
1
4
x2+bx-
3
4
,已知不論α、β為何實(shí)數(shù),恒有f(cosα)≤0,f(2-sinβ)≥0,對正數(shù)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn=f(an)(n∈N+).
(1)求b的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)問是否存在等比數(shù)列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1(2n-1)+2對于一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.
(4)若
cn
=
1
1+an
(n∈N+),且數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,試比較Tn
1
6
的大小,并給予證明.
分析:(1)令α=0,β=
π
2
,根據(jù)f(cosα)≤0,f(2-sinβ)≥0,可知f(1)=0求得b.
(2)根據(jù)函數(shù)解析式分別表示出Sn和Sn+1,進(jìn)而根據(jù)an+1=Sn+1-Sn整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0進(jìn)而判斷出an+1-an=2,推斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求得a1利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an
(3)假設(shè)存在等比數(shù)列{bn},使得a1b1+a2b2++anbn=2n+1(2n-1)+2對于一切正整數(shù)n都成立,令n=1,2,求得b1和b2進(jìn)而求的數(shù)列的公比,進(jìn)而可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,令Sn=3×2+5×22+…+(2n+1)2n,利用錯位相減法求得Sn=2n+1(2n-1)+2.證明出a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1(2n-1)+2對于一切正整數(shù)n都成立.
(4)把(2)中求得的an代入
cn
=
1
1+an
中求得cn,利用裂項(xiàng)法求得Tn=
1
2
(
1
3
-
1
2n+3
)
進(jìn)而可證明Tn
1
6
解答:解:(1)由對任意實(shí)數(shù)α、β,恒有f(cosα)≤0,f(2-sinβ)≥0,
可得恒有f(cos0)≤0,且f(2-sin
π
2
)≥0,即f(1)=
1
4
+b-
3
4
=0,可得b=
1
2
;
(2)由Sn=f(an)=
1
4
an2+
1
2
an-
3
4
(n∈N+),可得Sn+1=
1
4
an+12+
1
2
an+1-
3
4

故an+1=Sn+1-Sn=
1
4
(an+12-an2)+
1
2
(an+1-an),即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,
又{an}是正數(shù)數(shù)列,故an+1+an>0,∴an+1-an=2,即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
又a1=
1
4
a12+
1
2
a1-
3
4
,且a1>0,可得a1=3,故an=3+2(n-1)=2n+1;
(3)假設(shè)存在等比數(shù)列{bn},使得a1b1+a2b2++anbn=2n+1(2n-1)+2對于一切正整數(shù)n都成立,
令n=1,2,可得b1=2,b2=4,故{bn}的公比為2,從而bn=2×2n-1=2n
令Sn=3×2+5×22+…+(2n+1)2n⇒Sn=2n+1(2n-1)+2
故a1b1+a2b2++anbn=2n+1(2n-1)+2對于一切正整數(shù)n都成立.
(4)
cn
=
1
1+an
cn=(
1
1+an
)2=
1
(1+an)2
Tn
=
n
i=1
 
1
(2i+2)2
n
i=1
 
1
(2i+2)2-1
=
n
i=1
 
1
(2i+1)(2i+3)

=
1
2
n
i=1
 (
1
2i+1
-
1
2i+3
)
=
1
2
(
1
3
-
1
2n+3
)<
1
6
點(diǎn)評:本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.涉及了數(shù)列的求和、不等式等問題,考查了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+1,其中a為常數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)求證:
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N,n≥2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=exμ(x),
(I)若μ(x)=x2-
52
x+2的極小值;
(Ⅱ)若μ(x)=x2+ax-3-2a,設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=(a2+14)ex+4,若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若對于任意x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)為定義在[0,1]上的非減函數(shù),且滿足以下三個條件:①f(0)=0;②f(1-x)+f(x)=1,x∈[0,1]; ③當(dāng)x∈[0,
1
4
]
時,f(x)≥2x恒成立.則f(
3
7
)+f(
5
9
)
=
1
1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•牡丹江一模)下列命題中,正確的是
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)

(1)平面向量
a
b
的夾角為60°,
a
=(2,0)
,|
b
|=1
,則|
a
+
b
|
=
7

(2)在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acosC,bcosB,ccosA成等差數(shù)列則B=
π
3

(3)O是△ABC所在平面上一定點(diǎn),動點(diǎn)P滿足:
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)
,λ∈(0,+∞),則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心
(4)設(shè)函數(shù)f(x)=
x-[x],x≥0
f(x+1),x<0
其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[-1.3]=-2,[1.3]=1,則函數(shù)y=f(x)-
1
4
x-
1
4
不同零點(diǎn)的個數(shù)2個.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
2
•(
1
4
x-1+a•(
1
2
x-a+2
(1)若a=4,解不等式f(x)>0;
(2)若方程f(x)=0有負(fù)數(shù)根,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案