設(shè)函數(shù)f(x)=exμ(x),
(I)若μ(x)=x2-
52
x+2的極小值;
(Ⅱ)若μ(x)=x2+ax-3-2a,設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=(a2+14)ex+4,若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式,然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極小值.
(Ⅱ)要使|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,實(shí)質(zhì)是求兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值只差.分別利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)和g(x)的最值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=exμ(x)=(x2-
5
2
x+2)ex,f′(x)=ex(x2-
1
2
x-
1
2
)
,
令f'(x)=0,得x=-
1
2
或x=1.
由f'(x)>0,得x<-
1
2
或x>1,此時(shí)函數(shù)遞增.
f'(x)<0,得-
1
2
<x<1
,此時(shí)函數(shù)遞減.
所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極小值f(1)=
1
2
e

(Ⅱ)f(x)=exμ(x)=(x2+ax-3-2a)ex,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=ex[x2+(a+2)-(3+a)]=ex(x-1)(x+3+a).
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為f(1)=-(a+2)e.
又∵f(0)=-(2a+3)<0,f(4)=(2a+13)e4>0,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[f(1),f(4)],即[-(a+2)e,(2a+13)e4](7分)
又g(x)=(a2+14)ex+4在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù),
且它在區(qū)間[0,4]上的值域是[(a2+14)e4,(a2+14)e8](9分)
∵(a2+14)e4-(2a+13)e4=(a2-2a+1)e4=(a-1)2e4≥0,
∴若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,只需要(a2+14)e4-(2a+13)e4<1即可,
即(a-1)2e4<1,(a-1)2
1
e4
,解得1-
1
e2
<a<1+
1
e2
,即a的取值范圍(1-
1
e2
,1+
1
e2
)
點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極小值以及求函數(shù)的最值問題.運(yùn)算量非常大,綜合性較強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2
(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.

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(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線與直線y=x+4平行.求a的值;
(II)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間.

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-1
-1

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設(shè)函數(shù)f(x)=ex
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(2)若函數(shù)y=|h(x)-a|-1=0有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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