Question

過(guò)直線y=-m（m為大于0的常數(shù)）上一動(dòng)點(diǎn)Q作x軸的垂線，與拋物線C：y=x²相交于點(diǎn)P，拋物線上兩點(diǎn)A、B滿足
（1）求證：直線AB與拋物線C在點(diǎn)P處的切線平行，且直線AB恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得點(diǎn)Q在直線y=-m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有QA⊥QB，若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，-m），P（x，x²），，，，由，得（*）．聯(lián)立直線AB和拋物線C方程，得x²-kx-b=0，由此入手能夠證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，m）．
（2）由=，=．知，由此能夠?qū)С龃嬖趯?shí)數(shù)，使得Q點(diǎn)在直線y=-m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有QA⊥QB．
解答：（1）證明：設(shè)直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵Q（x，-m），P（x，x²），
∴，，，
由，得
（*）
聯(lián)立直線AB和拋物線C方程：
，得x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=k²+2b，y₁y₂=（x₁x₂）²=b²，
代入（*）式，可得，
∵y′=2x，
∴拋物線C在點(diǎn)P處的切線斜率為2x=k，
故直線AB與拋物線C在點(diǎn)P處的切線平行．
∵直線AB：y=kx+m，且m為常數(shù)，
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，m）．
（2）解：∵=，
=．
∴，
∴當(dāng)時(shí)，恒有．
故存在實(shí)數(shù)，使得Q點(diǎn)在直線y=-m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有QA⊥QB．
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．