Question

（12分）（原創(chuàng)）已知函數(shù)滿足以下條件：①定義在正實(shí)數(shù)集上；②；③對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有。

（1）求,的值；

（2）求證：對(duì)于任意，都有;

（3）若不等式,對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【解析】

試題分析：先利用賦值法求出，（2）根據(jù)抽象函數(shù)表達(dá)式可以看出只是一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)模型，借助可以求出函數(shù)原型：，但證明時(shí)需利用，所以取兩個(gè)指數(shù)型的正數(shù)，去考察和即可；（3）首先利用賦值法證明函數(shù)在上是減函數(shù)，再考慮式子在上有意義，求出的要求，即定義域優(yōu)先考慮，然后要求，最后借助函數(shù)是減函數(shù)，解不等式，即

，最終求出的范圍，本題難度較大，需認(rèn)真解每一步.

試題解析：（1）令，得：,,,

（2）證明：設(shè)，均為正數(shù) ,則存在使得，

（3）先證在正實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減：

設(shè)，且,令：，（），，， 則由（2）知

-==，則函數(shù)在上是減函數(shù).

再求取值范圍：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040406061038088917/SYS201504040606140215326525_DA/SYS201504040606140215326525_DA.042.png">且，又，在區(qū)間上有定義

定義在正實(shí)數(shù)集上 可得：

，對(duì)恒成立，……（1）

,對(duì)恒成立，恒成立……（2）

由（2）中令 ,得：，則原不等式可整理為：

直線在左側(cè)，令

在上為減函數(shù)，需要最大值為，即，

（3）,有上面（1）（2）（3）得：的取值范圍是

考點(diǎn)：1.賦值法；2.抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明；3.利用抽象函數(shù)的增減性解不等式；