Question

【題目】已知函數(shù)常數(shù)．

證明在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

對(duì)于中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

利用定義證明即可；把看成整體，研究對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性以及利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)得到該函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于任意的，總存在，使得可轉(zhuǎn)化成的值域?yàn)?/span>的值域的子集，建立關(guān)系式，解之即可．

證明：：設(shè)，，且，

，

，

，，

當(dāng)時(shí)，即，

當(dāng)時(shí)，即，

當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，

故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，

，

設(shè)，則，

，

由可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

，，

即，，

即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

由于為減函數(shù)，故，

又由（2）得

由題意，的值域?yàn)?/span>的值域的子集，

從而有，

解得．