Question

函數(shù)f(x)=

a

•

b

-

3

2

，

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，其中ω＞0，點（x₁，0），（x₂，0）是函數(shù)f（x）圖象上相鄰的兩個對稱中心，且|x1-x2|=

π

2

（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若函數(shù)f（x）圖象向右平移m（m＞0）個單位后所對應的函數(shù)圖象是偶函數(shù)圖象，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積的坐標運算與二倍角的正弦與余弦、輔助角公式即可求得f（x）=cos（2x+

π

6

）；再由函數(shù)f（x）圖象上相鄰的兩個對稱中心之間的距離|x₁-x₂|=

π

2

可求得其周期T，繼而得ω，于是得函數(shù)f（x）的表達式；
（2）由f（x-m）=cos[2（x-m）+

π

6

]=son（2x-2m+

π

6

）為偶函數(shù)⇒m=

π

12

-

kπ

2

（k∈Z），依題意m＞0，即可求得m的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

=

3

•

1+cos2ωx

2

-

1

2

sin2ωx-

3

2

=

3

2

cos2ωx-

1

2

sin2ωx
=cos（2ωx+

π

6

）．
又函數(shù)f（x）圖象上相鄰的兩個對稱中心之間的距離|x₁-x₂|=

π

2

，
即

T

2

=

π

2

，
∴T=π=

2π

2ω

，
∴ω=1，
∴函數(shù)f（x）的表達式為：f（x）=cos（2x+

π

6

）；
（2）∵f（x-m）=cos[2（x-m）+

π

6

]=son（2x-2m+

π

6

）為偶函數(shù)，
∴-2m+

π

6

=kπ（k∈Z），
∴m=

π

12

-

kπ

2

（k∈Z），又m＞0，
∴當k=0時，m取得最小值，為

π

12

．

點評：本題考查三角恒等變換，突出考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換與余弦函數(shù)的性質，考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算，屬于中檔題．