已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]，
求：（1）
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函數(shù)f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最小值．
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式與兩角和的余弦公式，化簡可得
a
•
b
=cos(
3
2
x+
1
2
x)=cos2x；由向量模的公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡可得|
a
+
b
|=2
cos2x
=2cosx；
（2）由（1）可得f（x）=cos2x-2cosx，利用二倍角的余弦公式化簡得f(x)=2(cosx-
1
2
)2-
3
2
，再根據(jù)cosx在區(qū)間[0，
π
2
]的取值與二次函數(shù)的性質(zhì)加以計算，可得函數(shù)f（x）的最小值．
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
∴
a
•
b
=cos
3
2
x•cos
x
2
-sin
3
2
x•sin
x
2
=cos(
3
2
x+
1
2
x)=cos2x．
∵
a
+
b
=（cos
3
2
x+cos
x
2
，sin
3
2
x-sin
x
2
）
∴|
a
+
b
|=
(cos
3
2
x+cos
3
2
)2+(sin
3
2
x-sin
x
2
)2
=
2+2cos2x
=2
cos2x
．
∵x∈[0，
π
2
]，得cosx＞0，
∴|
a
+
b
|=2|cosx|=2cosx．
（2）由（1）的結(jié)論，可得
f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-
1
2
)2-
3
2
．
∵x∈[0，
π
2
]，可得0≤cosx≤1．
∴當(dāng)cosx=
1
2
時，即x=
π
3
時，f（x）取得最小值-
3
2
．
點(diǎn)評：本題考查了向量的數(shù)量積與模的公式、三角恒等變換公式、二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)最值的求法等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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