(本小題滿分14分)設,函數.
(1) 若,求曲線在處的切線方程;
(2) 若無零點,求實數的取值范圍;
(3) 若有兩個相異零點,求證: .
(1) ;
(2) ;
(3)見解析
【解析】本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用,以及求解函數的零點的運算,和不等式的綜合運用。
(1)由于函數的導數可知函數在沒一點的切線的斜率得到切線的斜率和點的坐標,從而得到切線方程。
(2)由于函數無零點,說明圖像與x沒有交點,函數無零點方程即在上無實數解。利用導數判定單調性得到極值進而得到結論。
(3)原不等式
設函數,結合導數分析證明。
解:方法一
在區(qū)間上,. ……………………1分
(1)當時,,則切線方程為,即 …………3分
(2)①若,則,是區(qū)間上的增函數,
,,
,函數在區(qū)間有唯一零點. …………6分
②若,有唯一零點. …………7分
③若,令得: .
在區(qū)間上, ,函數是增函數;
在區(qū)間上, ,函數是減函數;
故在區(qū)間上, 的極大值為.
由即,解得:.
故所求實數a的取值范圍是. …………9分
方法二、函數無零點方程即在上無實數解…………4分
令,則
由即得: …………6分
在區(qū)間上, ,函數是增函數;
在區(qū)間上, ,函數是減函數;
故在區(qū)間上, 的極大值為. …………7分
注意到時,;時;時,故方程在上無實數解.
即所求實數a的取值范圍是. …………9分
[注:解法二只說明了的值域是,但并沒有證明.]
(3) 設
,
原不等式
令,則,于是.…………12分
設函數,
求導得:
故函數是上的增函數,
即不等式成立,故所證不等式成立.………14分
科目:高中數學 來源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1與C2在第一象限內只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設A、B是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。
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科目:高中數學 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學期期末數學理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點()在函數的圖像上,其中=.
(1)證明:數列}是等比數列;
(2)設,求及數列{}的通項公式;
(3)記,求數列{}的前n項和,并證明.
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科目:高中數學 來源:2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
某網店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現,第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.
(Ⅰ)寫出銷售額關于第天的函數關系式;
(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;
(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年廣東省高三下學期第一次月考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.
⑴ 求,滿足的關系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;
⑶ 證明:()
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