Question

如圖，橢圓+=1 （a＞b＞0）的上、下頂點分別為A、B，已知點B在直線l：y=-1上，且橢圓的離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN．

Answer 1

（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）依題意，得b=1． （1分）
∵e==，a²-c²=b²=1，
∴a²=4．（3分）
∴橢圓的標準方程為．（4分）
（Ⅱ）證明：設P（x₁，y₁），x₁≠0，
則Q（0，y₁），且．
∵M為線段PQ中點，∴M（）．（5分）
又A（0，1），∴直線AM的方程為y=．
∵x₁≠0，∴y₁≠1．
令y=-1，得C（）． （8分）
又B（0，-1），N為線段BC的中點，
∴N（，-1）．（9分）
∴=（）． （10分）
∴=+y₁•（y₁+1）
=+
=
=1-（1+y₁）+y₁=0．（12分）
∴OM⊥MN．
分析：（Ⅰ）依題意，得b=1．由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），x₁≠0，則Q（0，y₁），且．由M為線段PQ中點，知M（）．由A（0，1），知直線AM的方程為y=．由此能夠證明OM⊥MN．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段垂直的證明．解題時要認真審題，注意橢圓與直線的位置關系的靈活運用，合理地進行等價轉化．