【題目】已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.
(1)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;
(2)若l過點(diǎn)( ,m),延長線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時l的斜率;若不能,說明理由.

【答案】
(1)證明:設(shè)直線l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),

將y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,

則判別式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,

則x1+x2= ,則xM= = ,yM=kxM+b= ,

于是直線OM的斜率kOM= = ,

即kOMk=﹣9,

∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值


(2)解:四邊形OAPB能為平行四邊形.

∵直線l過點(diǎn)( ,m),

∴由判別式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,

即k2m2>9b2﹣9m2

∵b=m﹣ m,

∴k2m2>9(m﹣ m)2﹣9m2

即k2>k2﹣6k,

即6k>0,

則k>0,

∴l(xiāng)不過原點(diǎn)且與C有兩個交點(diǎn)的充要條件是k>0,k≠3,

由(1)知OM的方程為y= x,

設(shè)P的橫坐標(biāo)為xP

,即xP=

將點(diǎn)( ,m)的坐標(biāo)代入l的方程得b=

即l的方程為y=kx+ ,

將y= x,代入y=kx+ ,

得kx+ = x

解得xM=

四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分,即xP=2xM,

于是 =2× ,

解得k1=4﹣ 或k2=4+

∵ki>0,ki≠3,i=1,2,

∴當(dāng)l的斜率為4﹣ 或4+ 時,四邊形OAPB能為平行四邊形


【解析】(1)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出對應(yīng)的直線斜率即可得到結(jié)論.(2)四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分,即xP=2xM , 建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論.

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