【題目】已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.
(1)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;
(2)若l過點(diǎn)( ,m),延長線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時l的斜率;若不能,說明理由.
【答案】
(1)證明:設(shè)直線l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
將y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,
則判別式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,
則x1+x2= ,則xM= = ,yM=kxM+b= ,
于是直線OM的斜率kOM= = ,
即kOMk=﹣9,
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值
(2)解:四邊形OAPB能為平行四邊形.
∵直線l過點(diǎn)( ,m),
∴由判別式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,
即k2m2>9b2﹣9m2,
∵b=m﹣ m,
∴k2m2>9(m﹣ m)2﹣9m2,
即k2>k2﹣6k,
即6k>0,
則k>0,
∴l(xiāng)不過原點(diǎn)且與C有兩個交點(diǎn)的充要條件是k>0,k≠3,
由(1)知OM的方程為y= x,
設(shè)P的橫坐標(biāo)為xP,
由 得 ,即xP= ,
將點(diǎn)( ,m)的坐標(biāo)代入l的方程得b= ,
即l的方程為y=kx+ ,
將y= x,代入y=kx+ ,
得kx+ = x
解得xM= ,
四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分,即xP=2xM,
于是 =2× ,
解得k1=4﹣ 或k2=4+ ,
∵ki>0,ki≠3,i=1,2,
∴當(dāng)l的斜率為4﹣ 或4+ 時,四邊形OAPB能為平行四邊形
【解析】(1)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出對應(yīng)的直線斜率即可得到結(jié)論.(2)四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分,即xP=2xM , 建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論.
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【題目】已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x﹣2)2+(y﹣2)2=1.
(1)求 的取值范圍;
(2)求|x+y+l|的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π)圖象的最高點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ,與點(diǎn)D相鄰的最低點(diǎn)坐標(biāo)為 . (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求滿足f(x)=1的實(shí)數(shù)x的集合.
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【題目】平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1 , α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m、n所成角的正弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,(x>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣2,3).
(Ⅰ)求a的值,并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y=f(x)的圖象;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(m,m+1)上是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=2,PD ,M為棱PB的中點(diǎn). (Ⅰ)證明:DM⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角A﹣DM﹣C的余弦值.
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【題目】如圖1,已知長方形ABCD中,AB=2,AD=1,E為DC的中點(diǎn).將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE.
(1)求證:平面BDE⊥平面ADE
(2)求三棱錐 C﹣BDE的體積
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【題目】設(shè),函數(shù).
(1)若,求曲線在處的切線方程;
(2)若無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若有兩個相異零點(diǎn), ,求證:
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