Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（a）=

3

5

，2α是第一象限角，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（I）利用兩角差的余弦公式，二倍角公式化簡函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

 ），由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出
函數(shù)f（x）的減區(qū)間．
（II）根據(jù)sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，2kπ-

π

6

＜2a-

π

6

＜2kπ+

π

3

，k∈z，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 求出cos（2a-

π

6

 ）
的值，由sin2a=sin[（2a-

π

6

 ）+

π

6

]，利用兩角和的正弦公式求得結(jié)果．

解答：解：（I）因為函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x=

1

2

 cos2x+

3

2

sin2x-cos2x 
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

 ），∴當(dāng) 2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
 即 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

  時，函數(shù) f（x）遞減．
故，所求函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

]，k∈z．
（II）因為2a是第一象限角，且 sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，所以，2kπ-

π

6

＜2a-

π

6

＜2kπ+

π

3

，k∈z．
由 f（a）=sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，得cos（2a-

π

6

 ）=

4

5

．所以，sin2a=sin[（2a-

π

6

 ）+

π

6

]=

3 3 +4

10

．

點評：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡單的三角變換，要求學(xué)生能正確運用三角函數(shù)的概念和公式對已知的三角函數(shù)進行化簡求值．