Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=

1

2

AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知易得，AB，AD，AP兩兩垂直．分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各頂點的坐標(biāo)，然后求出直線CD的方向向量及平面PAC的法向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．
（II）設(shè)側(cè)棱PA的中點是E，我們求出直線BE的方向向量及平面PCD的法向量，代入判斷及得E點符合題目要求；
（III）求現(xiàn)平面APD的一個法向量及平面PCD的一個法向量，然后代入向量夾角公式，即可求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答：解：因為∠PAD=90°，所以PA⊥AD．又因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，所以PA⊥底面ABCD．又因為∠BAD=90°，
所以AB，AD，AP兩兩垂直．分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
設(shè)AD=2，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
（Ⅰ）證明：

AP

=(0，  0，  1)，

AC

=(1，  1，  0)，

CD

=(-1，  1，  0)，
所以

AP

•

CD

=0，

AC

•

CD

=0，所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因為AP∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱PA的中點是E，則E(0，0，

1

2

)，

BE

=(-1，0，

1

2

)．
設(shè)平面PCD的一個法向量是n=（x，y，z），則

n• CD =0 n• PD =0

因為

CD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，2，  -1)，
所以

-x+y=0 2y-z=0

取x=1，則n=（1，1，2）．
所以n•

BE

=(1，1，2)•(-1，0，

1

2

)=0，所以n⊥

BE

．
因為BE?平面PCD，所以BE∥平面PCD．（8分）
（Ⅲ）由已知，AB⊥平面PAD，所以

AB

=(1，0，0)為平面PAD的一個法向量．
由（Ⅱ）知，n=（1，1，2）為平面PCD的一個法向量．
設(shè)二面角A-PD-C的大小為θ，由圖可知，θ為銳角，
所以cosθ=

n• AB

|n|| AB |

=

(1，1，2)•(1，0，0)

6 ×1

=

6

6

．
即二面角A-PD-C的余弦值為

6

6

．（13分）

點評：利用空間向量來解決立體幾何夾角問題，其步驟是：建立空間直角坐標(biāo)系?明確相關(guān)點的坐標(biāo)?明確相關(guān)向量的坐標(biāo)?通過空間向量的坐標(biāo)運算求解．