Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P（x₁，y₁）向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑，再分類(lèi)討論，設(shè)出切線方程，利用直線是切線建立方程，即可得出結(jié)論；
（2）先確定P的軌跡方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答：解：（1）由方程x²+y²+2x-4y+3=0知（x+1）²+（y-2）²=2，所以圓心為（-1，2），半徑為

2

．
當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx，則

|k+2|

k2+1

=

2

，所以k=2±

6

，即切線方程為y=（2±

6

）x．
當(dāng)切線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為x+y=a，則

|-1+2-a|

2

=

2

，所以a=-1或a=3，即切線方程為x+y+1=0或x+y-3=0．
綜上知，切線方程為y=（2±

6

）x或x+y+1=0或x+y-3=0；
（2）因?yàn)閨PO|²+r²=|PC|²，所以x₁²+y₁²+2=（x₁+1）²+（y₁-2）²，即2x₁-4y₁+3=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
當(dāng)直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時(shí)，即直線PO的方程為2x+y=0時(shí)，|PM|最小，
此時(shí)P點(diǎn)即為兩直線的交點(diǎn)，得P點(diǎn)坐標(biāo)（-

3

10

，

3

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．