Question

下列幾個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=x²+（a-3）x+a有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)比0大，一個(gè)比0小，則a＜0；
②函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域?yàn)閇-3，1]；
④函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，4]，則函數(shù)f（3x-4）的定義域是[-10，8]，
⑤函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
⑥函數(shù)y=（x-1）²與y=2^x-1在區(qū)間[0，+∞）上都是增函數(shù)，
其中正確的有

①⑤

．

Answer 1

分析：①利用根的存在性定理判斷．②利用函數(shù)奇偶性的定義判斷．③利用平移不改變函數(shù)的值域去判斷．④利用復(fù)合函數(shù)的定義域關(guān)系去判斷．
⑤利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)判斷．⑥利用函數(shù)的單調(diào)性判斷．

解答：解：①要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)比0大，一個(gè)比0小，則有f（0）＜0，即a＜0，所以①正確．
②要使函數(shù)有意義，則有

x2-1≥0 1-x2≥0

，即

x2≥1 x2≤1

，解得x²=1，此時(shí)x=1或x=-1，此時(shí)函數(shù)y=0，為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，所以②錯(cuò)誤．
③因?yàn)楹瘮?shù)f（x+1）是由f（x）向左平移一個(gè)單位得到的，平移不改變函數(shù)的值域，所以函數(shù)f（x+1）的值域?yàn)閇-2，2]，所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，4]，即-2≤x≤4，由-2≤3x-4≤4，解得

2

3

≤x≤

8

3

，即函數(shù)f（3x-4）的定義域是[

2

3

，

8

3

]，所以④錯(cuò)誤．
⑤因?yàn)閍^x＞0，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以⑤正確．
⑥函數(shù)y=（x-1）²的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，所以在區(qū)間[0，+∞）上函數(shù)不單調(diào)，所以⑥錯(cuò)誤．
故答案為：①⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題的真假判斷以及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和判斷，綜合性較強(qiáng)．