Question

有下列幾個(gè)命題：
①函數(shù)y=

1

x+1

在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是減函數(shù)；
②已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(1+

3	x

)，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=-x(1-

3	x

)；
④已知定義在R上函數(shù)f（x）滿(mǎn)足對(duì)?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，則f（x）是R上的增函數(shù)；⑤如果a＞1，則函數(shù)f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：分別利用函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的性質(zhì)，可以判斷（1）（2）（4）的正誤，利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論，可以判斷出（3）（5）的正誤，最后可以得出正確命題的序號(hào)．

解答：解：對(duì)于①，函數(shù)y=

1

x+1

的圖象有兩支，所以單調(diào)減區(qū)間應(yīng)該是（-∞，-1）和（-1，+∞）上是減函數(shù)，不能用并集符號(hào)，是假命題；
對(duì)于②，由a+b＞0得a＞-b，根據(jù)增函數(shù)性質(zhì)得f（a）＞f（-b），同理可得f（b）＞f（-a），兩式相加可得f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），②是真命題；
對(duì)于③當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，故f（-x）=-x（1+

3	-x

）=-f（x），因此f（x）=-x(1-

3	x

)，③是真命題；
對(duì)于④，對(duì)?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），可以先取y=0，得f（x+0）=f（x）+f（0）⇒f（0）=0
再取y=-x，得f（x+（-x））=f（x）+f（-x）=0，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
再用單調(diào)性的定義結(jié)合當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，可以證得f（x）是R上的增函數(shù)；
對(duì)于⑤，f（x）=a^x-x-a=0等價(jià)于：a^x=x+a，由于a＞1，可在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出方程兩邊對(duì)應(yīng)的圖象，可得兩個(gè)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以⑤是真命題．
故答案為②④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷、函數(shù)的零點(diǎn)和命題真假的判斷等問(wèn)題，屬于綜合題．