精英家教網(wǎng)如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點）上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設向量
AP
=m
AB
+n
AF
（m，n為實數(shù)），則m+n的取值范圍是（　　）
A、（1，2]
B、[5，6]
C、[2，5]
D、[3，5]
分析：如圖所示，設點O為正六邊形的中心，則
AO
=
AB
+
AF
，當動圓Q的圓心經(jīng)過點C時，與邊BC交于點P，點P為邊BC的中點．連接OP，可知
AP
=
AO
+
OP
，利用共線定理可得：存在實數(shù)t，使得
OP
=t
FB
．于是
AP
=
AO
+t
FB
=(1+t)
AB
+(1-t)
AF
，此時m+n=2，取得最小值．當動圓Q的圓心經(jīng)過點D時，取AD的延長線與⊙Q的交點P時．
AP
=
5
2
AO
=
5
2
(
AB
+
AF
)=
5
2
AB
+
5
2
AF
，此時m+n=5取得最大值．
解答：解：如圖所示，精英家教網(wǎng)
①設點O為正六邊形的中心，則
AO
=
AB
+
AF
．
當動圓Q的圓心經(jīng)過點C時，與邊BC交于點P，點P為邊BC的中點．連接OP，
則
AP
=
AO
+
OP
，
∵
OP
與
FB
共線，∴存在實數(shù)t，使得
OP
=t
FB
．
∴
AP
=
AO
+t
FB
=
AB
+
AF
+t(
AB
-
AF
)=(1+t)
AB
+(1-t)
AF
，
此時m+n=1+t+1-t=2，取得最小值．
②當動圓Q的圓心經(jīng)過點D時，取AD的延長線與⊙Q的交點P時．
AP
=
5
2
AO
=
5
2
(
AB
+
AF
)=
5
2
AB
+
5
2
AF
，
此時m+n=
5
2
+
5
2
=5取得最大值．
因此m+n的取值范圍是[2，5]．
故選：C．
點評：本題考查了向量的平行四邊形法則、向量的運算、平面向量的基本定理、正六邊形的性質(zhì)等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．
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