設(shè)函數(shù)f(x)=
lg|x-2|,x≠2
1,x=2
,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1、x2、x3、x4、x5則f(x1+x2+x3+x4+x5)等于
 
分析:分情況討論,當(dāng)x=2時(shí),f(x)=1,則由f2(x)+bf(x)+c=0得1+b+c=0,求出x1=2;當(dāng)x>2時(shí),f(x)=lg(x-2),由f2(x)+bf(x)+c=0得[lg(x-2)]2+blg(x-2)-b-1=0,解得lg(x-2)=1,或lg(x-2)=b,從而求出x2和x3;當(dāng)x<2時(shí),f(x)=lg(2-x),由f2(x)+bf(x)+c=0得[lg(2-x)]2+blg(2-x)-b-1=0),解得lg(2-x)=1,或lg(2-x)=b,從而求出x4和x5,5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1、x2、x3、x4、x5都求出來(lái)后,就能求出f(x1+x2+x3+x4+x5)的值.
解答:解:當(dāng)x=2時(shí),f(x)=1,則由f2(x)+bf(x)+c=0得1+b+c=0.
∴x1=2,c=-b-1.
當(dāng)x>2時(shí),f(x)=lg(x-2),
由f2(x)+bf(x)+c=0,
得[lg(x-2)]2+blg(x-2)-b-1=0,
解得lg(x-2)=-b-1,x2=12或lg(x-2)=-b-1,x3=2+10-b-1
當(dāng)x<2時(shí),f(x)=lg(2-x),由f2(x)+bf(x)+c=0得[lg(2-x)]2+blg(2-x)-b-1=0),解得lg(2-x)=1,x4=-8或lg(2-x)=b,x5=2-10-b-1
∴f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(2+12+2+10b-8+2-10b)=f(10)=lg|10-2|=lg8=3lg2.
故答案是3lg2.
點(diǎn)評(píng):這是一道比較難的對(duì)數(shù)函數(shù)綜合題,解題時(shí)按照題設(shè)條件分別根據(jù)a=0、a>0和a<0三種情況求出關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0的5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1、x2、x3、x4、x5,然后再求出f(x1+x2+x3+x4+x5)的值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lg(2x-3)(x-
1
2
)
的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=
-x2+4ax-3a2
(a>0)的定義域?yàn)榧螧.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求集合A∩B;
(2)若A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax)•lg
a
x2

(1)當(dāng)a=0.1,求f(1000)的值.
(2)若f(10)=10,求a的值;
(3)若對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒有f(x)≤
9
8
,求a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

現(xiàn)有下列命題:
①設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),若a2-b2=1,則a-b<1;
②已知a>2b>0,則a2+
8
b(a-2b)
的最小值為16;
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大項(xiàng)是第4項(xiàng)
;
④設(shè)函數(shù)f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,則關(guān)于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個(gè)解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,則siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命題有
①②③
①②③
.(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lg(
2
x+1
-1)
的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=
1-a2-2ax-x2
的定義域?yàn)榧螧.
(1)求證:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).
(2)a≥2是A∩B=Φ的什么條件(充分非必要條件、必要非充分條件、充要條件、既非充分也非必要條件)?并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x+
x2+1
)

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)證明函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù).

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