現(xiàn)有下列命題:
①設(shè)a,b為正實數(shù),若a2-b2=1,則a-b<1;
②已知a>2b>0,則a2+
8
b(a-2b)
的最小值為16;
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大項是第4項
;
④設(shè)函數(shù)f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,則關(guān)于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,則siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命題有
①②③
①②③
.(寫出所有真命題的編號)
分析:①將a2-b2=1,分解變形為(a+1)(a-1)=b2,即可證明a-1<b,即a-b<1;
②先利用基本不等式求得2b(a-b)范圍,進而代入原式,進一步利用基本不等式求得問題答案.
③求數(shù)列的最大值,可通過做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性處理.
④題中原方程f2(x)+2f(x)=0有多少個不同實數(shù)解,即要求對應(yīng)于f(x)=0和f(x)=-2有幾個不同實數(shù)解,故先根據(jù)題意作出f(x)的簡圖:由圖可知,當f(x)=0時,它有三個根,當f(x)=-2時,它有二個根.故關(guān)于x的方程f2(x)+2f(x)=0有且只有5個不同實數(shù)解.
⑤由題意得siny=
1
3
-sinx,且-1≤
1
3
-sinx≤1,得到sinx的取值范圍,把所求的式子配方利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值.
解答:解:①若a2-b2=1,則a2-1=b2,即(a+1)(a-1)=b2,
∵a+1>a-1,∴a-1<b,即a-b<1,①正確;
②:∵2b(a-2b)≤(
2b+a-2b
2
2=
a2
4
,
∴a2+
16
2b(a-2b)
≥a2+
64
a2
≥16.
當且僅當2b=a-2b時取等號.②正確;
③:an=n(n+4)(
2
3
n
an+1
an
=
( n+1)(n+5)(
2
3
)n+1
n(n+4)( 
2
3
)n
=
2
3
×
( n+1)(n+5)
n(n+4)
≥1
則2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),即n2≤10,所以n<4,
即n<4時,an+1>an
當n≥4時,an+1<an,
所以a4最大.③正確;
④:∵題中原方程f2(x)+2f(x)=0有幾個不同實數(shù)解,
∴即要求對應(yīng)于f(x)=0和f(x)=-2有幾個不同實數(shù)解,
故先根據(jù)題意作出f(x)的簡圖,如圖,
由圖可知,當f(x)=0時,它有三個根,當f(x)=-2時,它有二個根.關(guān)于x的方程f2(x)+2f(x)=0有5個解.④不正確;
⑤:∵sinx+siny=
1
3
,∴siny=
1
3
-sinx,
∵-1≤
1
3
-sinx≤1,∴-
2
3
≤sinx≤1,
∴siny-cos2x=
1
3
-sinx-(1-sin2x) 
=(sinx-
1
2
)2-
11
12
,∴sinx=-
2
3
 時,siny-cos2x的最大值為(-
2
3
-
1
2
)2-
11
12
=
4
9
,⑤不正確.
故答案為:①②③.
點評:本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,正弦函數(shù)的有界性,二次函數(shù)的性質(zhì)等等.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合,對于映射f:V→V,a∈V,記a的象為f(a).若映射f:V→V滿足:對所有a、b∈V及任意實數(shù)λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),則f稱為平面M上的線性變換.現(xiàn)有下列命題:
①設(shè)f是平面M上的線性變換,a、b∈V,則f(a+b)=f(a)+f(b);
②若e是平面M上的單位向量,對a∈V,設(shè)f(a)=a+e,則f是平面M上的線性變換;
③對a∈V,設(shè)f(a)=-a,則f是平面M上的線性變換;
④設(shè)f是平面M上的線性變換,a∈V,則對任意實數(shù)k均有f(ka)=kf(a).
其中的真命題是
 
(寫出所有真命題的編號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

現(xiàn)有下列命題:
①設(shè)a,b為正實數(shù),若a2-b2=1,則a-b<1;
②△ABC若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形;
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
n中的最大項是第4項;
④設(shè)函數(shù)f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
則關(guān)于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個解;
⑤若sinx+siny=
1
3
,則siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命題有
①③
①③
.(寫出所有真命題的編號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•眉山一模)設(shè)函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)為上凸函數(shù). 若函數(shù)f(x)為上凸函數(shù),則對定義域內(nèi)任意x1、x2、x3,…,xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
(當x1=x2=x3=…=xn時等號成立),稱此不等式為琴生不等式,現(xiàn)有下列命題:
①f(x)=lnx(x>0)是上凸函數(shù);
②二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0;
③f(x)是上凸函數(shù),若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)圖象上任意兩點,點C在線段AB上,且
AC
CB
,則f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
;
④設(shè)A,B,C是一個三角形的三個內(nèi)角,則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2

其中,正確命題的序號是
①③④
①③④
(寫出所有你認為正確命題的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•眉山一模)設(shè)函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)為上凸函數(shù).現(xiàn)有下列命題:
①f(x)=sinx,x∈[0,π]是上凸函數(shù);
②f(x)=lnx(x>0)是上凸函數(shù);
③二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0;
④f(x)是上凸函數(shù),若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)圖象上任意兩點,點C在線段AB上,且
AC
CB
,則f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ

其中,正確命題的序號是
①②④
①②④
(寫出所有你認為正確命題的序號).

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