Question

（本小題12分）已知分別為橢圓：（）的左、右焦點(diǎn), 且離心率為，點(diǎn)橢圓上

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使直線與的傾斜角互補(bǔ)，且直線是否恒過定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）過定點(diǎn)

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（1）由題意得，，，聯(lián)立得

橢圓方程為 6分

（2）由題意,知直線存在斜率,其方程為由

消去

△=（4km）2—4（2k2+1）（2m2—2）>0

設(shè)

則 8分

又

由已知直線與的傾斜角互補(bǔ),

得

化簡,得

整理得 10分

直線的方程為,

因此直線過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0） 12分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的綜合應(yīng)用.