Question

已知數(shù)列中，，對(duì)任意的，、、成等比數(shù)列，公比為；、、成等差數(shù)列，公差為，且．
（1）寫(xiě)出數(shù)列的前四項(xiàng)；
（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）時(shí)，，時(shí)，.

試題分析：（1）求數(shù)列的前4項(xiàng)，相對(duì)較容易，由題意可得成等比數(shù)列，而，要求得，對(duì)應(yīng)再求得；（2）要求，實(shí)質(zhì)上就是求，我們應(yīng)求出的遞推關(guān)系，從而求出通項(xiàng)，由題意，，而，這樣就有，于是關(guān)于的遞推關(guān)系就有了：，把它變形或用代入就可得到結(jié)論；（3）由（2）我們求出了，下面為了求，我們要把數(shù)列從前到后建立一個(gè)關(guān)系，分析已知，發(fā)現(xiàn)，這樣就由而求出，于是，，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式后，其前項(xiàng)和也就可求得了. 另外由于第（1）題中已知求出的數(shù)列的前4項(xiàng)（我們還可再求出接下來(lái)的一些項(xiàng)，增強(qiáng)想象），然后用猜想的方法猜測(cè)出其通項(xiàng)公式（），再數(shù)學(xué)歸納法證明之. 
試題解析：（1）由題意得
，，或.               2分
故數(shù)列的前四項(xiàng)為或.                   4分
（2）∵成公比為的等比數(shù)列，
成公比為的等比數(shù)列
∴，
又∵成等差數(shù)列，
∴.
得，，           6分
，
∴，，即.
∴ 數(shù)列數(shù)列為公差等差數(shù)列，且或.    8分
∴或.               10分
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）得.
，，
，
.                 13分
當(dāng)時(shí)，同理可得，.                   16分
解法二：（2）對(duì)這個(gè)數(shù)列，猜想， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
�。┊�(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立.
ⅱ）假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即.
則時(shí)，
由歸納假設(shè)，. 由成等差數(shù)列可知，于是，
∴ 時(shí)結(jié)論也成立.
所以由數(shù)學(xué)歸納法原理知.                 7分
此時(shí).
同理對(duì)這個(gè)數(shù)列，同樣用數(shù)學(xué)歸納法可證. 此時(shí).
∴或.                           10分
（3）對(duì)這個(gè)數(shù)列，猜想奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為.
顯然結(jié)論對(duì)成立. 設(shè)結(jié)論對(duì)成立，考慮的情形.
由（2），且成等比數(shù)列，
故，即結(jié)論對(duì)也成立.
從而由數(shù)學(xué)歸納法原理知.于是（易見(jiàn)從第三項(xiàng)起每項(xiàng)均為正數(shù)）以及，此時(shí).       13分
對(duì)于這個(gè)數(shù)列，同樣用數(shù)學(xué)歸納法可證，此時(shí).
此時(shí).                                 16分