Question

【題目】已知點(diǎn)在雙曲線（，）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)（2）中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題(1)要求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須找到關(guān)于的兩個(gè)等式，題中一條漸近線方程為，說(shuō)明，這是一個(gè)等式，點(diǎn)在雙曲線上，那么此點(diǎn)坐標(biāo)適合雙曲線方程，代入進(jìn)去又可得到一個(gè)等式，這樣可解得；(2)直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，直接把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，此方程組有兩解，方法是消去一個(gè)元，得到關(guān)于的二次方程，此方程是二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則；(3)題設(shè)條件說(shuō)明，如果設(shè)，則有，可用表示出來(lái)，而在(2)中可用表示出來(lái)，代入剛才的等式，得到的方程，可解得．

試題解析：(1)由題知，有

解得

因此，所求雙曲線的方程是．

(2)∵直線過(guò)點(diǎn)且斜率為，

∴直線：．

聯(lián)立方程組得．

又直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

∴

解得．

(3)設(shè)交點(diǎn)為，由(2)可得

又以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

因此，為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

于是，即，，

，解得．

又滿足，且，

所以，所求實(shí)數(shù)．