Question

已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a=

2

，向量

m

=（-1，1），

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

2

2

），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）當(dāng)sinB+cos（

7π

12

-C）取得最大值時(shí)，求B和b．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，化為-cos（B+C）=sinA=

2

2

，又A∈（0，π），可得A=

π

4

或

3π

4

．
（2）sinB+cos(

7π

12

-C)=sinB+cos(B-

π

6

)=

3

sin(B+

π

6

)，當(dāng)A=

π

4

時(shí)，可得B=

π

3

時(shí)，sinB+cos(

7π

12

-C)最大，再利用正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

，可得b．當(dāng)A=

3π

4

時(shí)，B∈(0，

π

4

)，sinB+cos(

7π

12

-C)無最大值，舍去．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=-cosBcosC+sinBsinC-

2

2

=0，
∴-cos（B+C）=sinA=

2

2

，
又A∈（0，π），則A=

π

4

或

3π

4

．
（2）sinB+cos(

7π

12

-C)=sinB+cos(B-

π

6

)=

3

sin(B+

π

6

)，
當(dāng)A=

π

4

時(shí)，B∈(0，

3π

4

)，則B=

π

3

時(shí)，sinB+cos(

7π

12

-C)最大，
由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

，得b=

3

．
∴B=

π

3

，b=

3

．
當(dāng)A=

3π

4

時(shí)，B∈(0，

π

4

)，sinB+cos(

7π

12

-C)無最大值，舍去．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、兩角和差的余弦公式、誘導(dǎo)公式、正弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．