Question

直線y=kx+

3

與曲線C：y=

1-(x-1)2

有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是（　�。�

• A．(0，

  5π

  6

  )
• B．(

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• C．(

  π

  2

  ，

  5π

  6

  ]
• D．[

  5π

  6

  ，π]

Answer 1

分析：曲線C表示圓心為（1，0），半徑為1的x軸上方的半圓，直線與曲線C有公共點，即直線與半圓有交點，根據題意畫出相應的圖形，顯然y軸于半圓相切，此時的傾斜角為

π

2

，利用點到直線的距離公式，根據直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑列出關于k的方程，求出直線與圓相切時斜率的值，進而得到此時傾斜角的值，根據圖形可得滿足題意的傾斜角的取值范圍．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

若直線與圓相切，直線斜率k不存在時，此時傾斜角α=

π

2

；
當直線斜率存在時，圓心（1，0）到直線y=kx+

3

的距離d=

|k+ 3 |

1+k2

=r=1，
解得：k=-

3

3

，設此時直線的傾斜角為α（

π

2

＜α＜π），
∴tanα=-

3

3

，即α=

5π

6

，
則直線與圓有公共點時，傾斜角的取值范圍是（

π

2

，

5π

6

]．
故選C

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：直線斜率與傾斜角的關系，點到直線的距離公式，利用了轉化及數形結合的思想，其中根據題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵．