Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)F1(0，-

3

)、F2(0，

3

)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求出曲線C的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面積；
（3）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k＞0時(shí)，恒有|

OA

|＞|

OB

|．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是橢圓．從而寫出其方程即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，即可求得此時(shí)|AB|的值，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出AB邊上的高，代入面積公式進(jìn)行求解；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和與積，再由A、B在橢圓上和向量模的公式代入

|OA|

2 - |

OB

|2進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)點(diǎn)A位置和k的范圍，判斷式子的符號(hào)進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，
點(diǎn)P的軌跡C是以 (0，-

3

)，(0，

3

)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓，
則它的短半軸 b=

22-( 3 )2

=1，
∴曲線C的方程為 x2+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足

x2+ y2 4 =1 y=x+1

，
消去y并整理得5x²+2x-3=0，故x1+x2=-

2

5

，x1x2=-

3

5

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2

4 25 -4×(- 3 5 )

=

8 2

5

，
∵點(diǎn)O（0，0）到直線l：y=x+1的距離d=

1

2

=

2

2

，
∴△AOB的面積S=

1

2

×|AB|×d=

1

2

× 

8 2

5

×

2

2

=

4

5

；
（Ⅲ）設(shè)設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

，
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

，
∵A（x₁，y₁）在橢圓上，∴滿足y²=4（1-x²），即y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），
∴

|OA|

2-

|OB|

2=

x

2 1

+

y

2 1

-(

x

2 2

+

y

2 2

)=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）
=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=

6k(x1-x2)

k2+4

．
∵A在第一象限，故x₁＞0，由 x1x2=-

3

k2+4

知x₂＜0，從而x₁-x₂＞0．
又∵k＞0，
∴

|OA|

2-

|OB|

2＞0，
即在題設(shè)條件下，恒有

|OA|

＞

|OB|

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力，難點(diǎn)在與計(jì)算量較大，平時(shí)應(yīng)加大訓(xùn)練的力度與方向性．